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矩阵乘法
右乘列向量
形如Ax=b的形式的等式
eg:A=[(1,2,3),(2,1,3),(3,2,1)]
可以将等式化为Ax=Ib
可以看出矩阵的乘法在几何上的意义可以视为x向量在A的空间中和在I空间中的b是相同的向量
I为单位矩阵 也可以看作基础矩阵，基本矩阵
综上矩阵的乘法就是找一个向量b使得b在I的线性空间中与x在A的线性空间中相等
事实上虽然x与I的值不同 但他们是同样的向量 只是处在不同的坐标系中
四个基本子空间
若存在一个m行n列的矩阵A 他的秩是r
列空间&左零空间
这两个空间都在Rm中且两个空间正交
列空间C(A)
列空间的维度等于该矩阵的秩(通过基本行变换易得)
注意：维度用来描述空间而秩用来描述矩阵
左零空间
x(T)A = 0
x(T)构成左零空间
A(T) y = 0
y构成了左零空间
左零空间的维度为m-r
图和网络
图的矩阵
一个4节点5条边的有向图 组成一个5x4的矩阵
| -1 | 1 | 0 | 0 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 1 | 0 |
| -1 | 0 | 1 | 0 |
| -1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
零空间
当x满足[c,c,c,c]T 时 Ax=0 零空间维度是1 当满足这个条件时节点的值相等
左零空间
A T：
| -1 | 0 | -1 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | -1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
[y1,y2,y3,y4,y5]存在两个解在左零空间中 左零空间2维 A转置rank=3 此时线性无关的列1，2，4 所对应的边1，2，4 组成一个最简图(无环) 也可以称为树 若A转置满秩 则所连的线不构成闭环且添加任意线都会产生闭环
欧拉公式
节点数-边数+环(最小)数=1
